Francesco Di Noto – Anna
Rita Tulumello
(Gruppo Eratostene – Caltanissetta)
TEOREMA N° 1:
SULLA FORMA GENERALE DEI NUMERI PRIMI
E SOLUZIONI DEL MISTERO DELLE COPPIE DI PRIMI "GEMELLI"
Teorema: Tutti i numeri primi, tranne il 2 e il 3, e loro prodotti e potenze nesime, sono della forma generale:
P=6n±1
Comprese anche le coppie di numeri primi "gemelli".
DIMOSTRAZIONE
Disponendo tutti i numeri, dal 2 in poi, in sei colonne verticali:
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1ª
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2ª
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3ª
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4ª
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5ª
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6ª
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6n-4
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6n-3
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6n-2
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6n-1
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6n
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6n+1
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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13
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18
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19
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30
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31
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34
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38
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40
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46
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47
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48
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49
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51
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52
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53
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54
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55
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57
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58
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60
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61
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64
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65
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66
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67
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70
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73
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79
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e applicando dapprima ad esse il Crivello di Eratostene, notiamo che la 1ª colonna si può eliminare totalmente (numeri in grassetto nero; tranne il 2 iniziale, primo, perché composta da numeri pari multipli di 2; idem per la 2ª colonna (numeri in grassetto nero; tranne per il 3 iniziale, primo), perché composta da tutti i multipli dispari di 3; idem per la 3ª colonna (numeri in grassetto nero), perché anch'essa, come la prima, costituita dai multipli di 2; idem per la 5ª colonna (numeri in grassetto nero ), costituita dai multipli di 2 e di 3, e quindi di 2×3=6, e quindi della forma 6×n; rimangono la 4ª colonna, composta di numeri di forma 6×n-1, e la 6ª colonna, composta di numeri di forma 6×n+1, ed entrambe contengono tutti i numeri primi (ottenuti applicando soltanto a queste due colonne il normale Crivello di Eratostene) e tutti i loro prodotti, per esempio
11×5=55,
7×17=119, ecc…
e tutte le loro potenze, per es.
5×5×5=53=125 (nella 4ª colonna)
Quindi, tutti i primi, tranne il 2 e il 3, (ma 2×3=6) sono della forma generale
6n±1
e così pure i loro prodotti e le loro potenze. Oltre ad evidenziare
questa nuova regolarità dei primi, la dimostrazione del teorema risolve il problema
delle coppie di primi detti anche "gemelli", perché separati da un solo numero
pari, ovviamente della forma 6×n; tali coppie si verificano solo quando,
per uno stesso valore di n, entrambe le soluzioni e cioè 6n-1 e 6n+1, coincidono
con numeri primi, mentre per altri valori di n solo una di esse, o nessuna delle
due, è un numero primo.
Per esempio, si hanno coppie di gemelli per n=3:
6×3-1=17
6×3+1=19
separate da 6×3=18
e anche per n=5
6×5-1=29
6×5+1=31
separati da 6×5=30
e così pure per n=1; (5 e 7) e per n=2; (11 e 13), ecc…
mentre per n=11, si hanno
6×11-1=65=5×13, composto,
e 6×11+1=67, primo
mentre per gli altri n, più grandi di quelli compresi nella
tabella delle colonne, entrambe le soluzioni sono composte.
Ovviamente, più grande è n, più probabile è che entrambe le soluzioni o solo
una di esse sia un composto (prodotto o potenza di un numero primo precedente),
anziché essere entrambe numeri primi, gemelli; e quindi tali coppie di gemelli
sono sempre più rare al crescere di n.
Si può facilmente notare che prodotti di numeri della quarta e della sesta colonna
(per es. 5×5=25; 7×7=49; 5×11=55) si trovano tutti e sempre
nella sesta colonna (numeri in grassetto rosso), mentre i prodotti di
numeri di colonne diverse (sempre però 4ª×6ª) si trovano, viceversa,
sempre e tutti nella quarta colonna (per es. 5×7=35; 5×19=95, ecc…;
numeri in grassetto blu) cosa che si potrebbe in seguito approfondire.