Francesco Di Noto Annarita Tulumello
(Gruppo Eratostene Caltanissetta)
NUOVI TEOREMI 2007
N U
M E R I P R I M
I
E S E M
I P R I M
I
C O M E S
E M I G R
U P P O
TEOREMA: l’insieme P dei
numeri primi (tranne il 2 e il 3)
e dei semiprimi (prodotti tra due o più numeri
primi, sempre
tranne il 2
e il 3), costituiscono un semigruppo algebrico
commutativo,
con il la moltiplicazione come
operazione, e
la fattorizzazione come operazione
inversa
(divisione del numero più grande per il più piccolo e
con resto zero);
e come elemento neutro il numero 1.
DIMOSTRAZIONE:
In
base al nostro Teorema n°. 1, tutti i
numeri primi e
semiprimi
(tranne il 2 e il 3)
sono di forma generale:
P = 6*n +
1
per
esempio 47 =
6*8 – 1, con 47 numero primo;
65=
6*11 -1, con 65 = 5*11 = semiprimo, ecc.
Solo i numeri
primi 2 e 3 non sono di tale
forma, a differenza
di. tutti gli altri infiniti numeri primi e
semiprimi. 2 e 3 sono
infatti di forma
6*0 + 2 = 2
e 6*0 + 3 =
3. Anche il numero
1, come tutti
i numeri primi, è di forma 6*n + 1, infatti
6*0 + 1
= + 1 e
quindi 1 e -1 ; e naturalmente è il
numero neutro
del semigruppo P poiché
a*1 = a e
a/1 = a,
secondo le
regole della teoria algebrica dei gruppi.
Nel
nostro semigruppo P (semigruppo poiché manca della
operazione di addizione e della sua inversa
sottrazione), l’operazione
consentita
affinché ogni prodotto di uno o
più elementi del
semigruppo
sia anch’esso un elemento del semigruppo, è soltanto
la moltiplicazione
a*b = c con c
appartenente a P; e
con
operazione inversa
la fattorizzazione, cioè la sola
divisione con
resto
zero tra un elemento m ed
un elemento più piccolo p,
tale che m /
p = q
intero, e quindi p*q = m, ma non viceversa:
non sono
ammessi p/m oppure q/m, poiché
i rispettivi
risultati non appartengono all’insieme infinito P = 6*n + 1,
contenente
tutti i primi tranne il 2
e il 3, e tutti i semiprimi
m = p*q con p e q primi o semiprimi anch’essi,
entrambi o
anche uno solo, per es . 455 = 7*65 , con 7
primo e 65 = 5*13.
Anche i numeri primi e semiprimi negativi appartengono a P,
poiché anche -m è divisibile per p, dando come risultano
–q: -m/p
= -q, e -q*p = -m, e cosi via.
In tal
modo, si potrebbero studiare i numeri primi anche da
questo nuovo
punto di vista, finora trascurato, e che potrebbe
portare a qualche risultato utile i matematici che
volessero
approfondirlo
( questa è soltanto una proposta che riteniamo
interessante).
Ma si potrebbero studiare anche i
“sottosemigruppi”
(o sottoinsiemi )
di P, sicuramente anch’essi infiniti
(abbiamo un lavoro in corso in tal senso) dei numeri primi
particolari
: di Mersenne, di Fermat, di
Fibonacci, o collegati
ai fattoriali
( n! + 1) , o ai primoriali ( # + 1), oltre che
le
coppie di numeri
gemelli o alle coppie di
Goldbach (per le
soluzioni positive delle congetture di Goldbach e dei
numeri
gemelli
abbiamo pubblicato due lavori a parte su “METODO”
n° 20 -
2004 e 21 - 2005).
Inoltre questo nuovo approccio algebrico allo studio dei numeri
primi come
possibile semigruppo
commutativo, potrebbe essere
utile anche
alla ricerca di una possibile
soluzione della congettura
di Birch –
Swinnerton - Dyer, uno dei sette
problemi del millennio e
legata ai
numeri primi tramite le curve
ellittiche (usate anche
in crittografia in alternativa al sistema RSA legato
più diretta-
mente ai numeri primi, per via della difficile
fattorizzazione,
l’operazione inversa del nostro semigruppo
algebrico); tale
congettura è
collegata anche ai gruppi Z/nZ, e quindi alla
lontana ci
potrebbe essere una qualche possibile relazione tra
semigruppo P
e tali gruppi Z/nZ
della congettura di Birch-
Swinnerton – Dyer.
E infine, ci potrebbe perfino essere
qualche possibile relazione anche tra il semigruppo
P e il
problema del millennio P versus NP, un esempio
dei quali è
proprio la fattorizzazione di prodotti di due grandi
numeri
primi, che richiederebbe anni e anni o anche secoli di
calcoli
( e su tale
difficoltà si basa, com’è noto, il sistema crittografico
RSA). Quindi,
poiché tra gruppi e semigruppi algebrici c’è
sempre qualche relazione matematica, lo studio del semigruppo
P da noi proposto potrebbe rivelarsi fruttuoso sia per i problemi
del millennio
costituiti dalla congettura di Birch – Swinnerton
Dyer sulle
curve ellittiche, sia da P versus NP
(qui P non è il
nostro semigruppo
ma vuol dire Polinomiale); ma anche, non
è da escludere a priori, anche in altri campi della
matematica distanti
da quelli
concernenti i problemi dei numeri primi (curve
ellittiche, fattorizzazione, ecc.).
La congettura di Birch – Swinnerton -
Dyer è collegata
anche all’aritmetica modulare (vedasi libro di K. Devlin
“I problemi del
millennio” , Longanesi, capitolo “ Sapere
quando un’equazione
non può essere risolta), e tale
aritmetica
modulare
potrebbe essere collegata ad un sistema di numerazione
con base diversa da 10, per esempio 6 (collegando 6 alla
forma
generale dei primi e semiprimi P =
6*n + 1) ; così, studiando
in seguito insieme
semigruppo P, aritmetica modulare e
sistema
di numerazione in base 6 (anziché 2 come nel
noto sistema binario
usato nell’informatica o 10 come nel sistema
normalmente usato),
si potrebbero scoprire cose molto interessanti: per
esempio, primi
e semiprimi finirebbero entrambi con le cifre 5 e 1, e quindi
facilmente riconoscibili come tali; mentre i multipli
dispari di 3
terminerebbero tutti con la cifra 3 (come i multipli dispari di 5
per es. 15,
25, 35, … 1995… ecc. nel sistema a base 10), poichè
le cifre
7 e 9 non sono presenti in un sistema a base 6
(dove le cifre dispari sono solo 1, 3
e 5 ).
Abbiamo
in corso un lavoro su questo
sistema di numerazione
a base 6, con
il quale collegare il semigruppo P tramite il nostro
Teorema n. 1, con la
suddetta constatazione (e relativa
Dimostrazione)
sulla cifra finale
necessariamente 5 oppure
1
di ogni numero primo
o semiprimo appartenente al semigruppo
algebrico
P oggetto di questo lavoro.
Alla fine,
combinando bene insieme semigruppo P, Teorema n.1,
aritmetica modulare
e sistema di numerazione a base 6, e studiando
i numeri
primi sulla base di questa
combinazione di nostri teoremi
e relative dimostrazioni, si potrebbe
forse scoprire qualcosa di
nuovo e possibilmente anche di
interessante sui numeri primi ( e più in
generale, anche sulla Teoria dei numeri), con particolare attenzione
alle congetture – problemi del
millennio come la congettura di
Birch-Swinnerton-Dyer , la congettura di
Riemann e il
Problema
P versus NP, tutte e tre più o meno
direttamente
collegate ai numeri primi.