Francesco Di Noto – Annarita Tulumello
(Gruppo Eratostene – Caltanissetta)
NUOVI TEOREMI 2007
N U M
E R I P R
I M I E
S I S T E M
A
D I
N U M E R
A Z I O N
E A B A S
E 6
(In relazione al Teorema n.°
1)
Poiché tutti
gli infiniti numeri primi
(tranne il 2 e il 3)
e gli infiniti
semiprimi (prodotti tra due
o più numeri primi,
sempre ad eccezione di 2 e 3), sono della
forma
P = 6 * n +
1
sarebbe interessante vedere come, con un sistema di numerazione
a base 6 (anziché 10 come quello comunemente usato, o 2 come nel
codice binario
usato in informatica), si possono
scrivere tutti i
numeri in
generale e i numeri primi e semiprimi
in particolare;
usando anche, per questi ultimi, le colonne
6n-1 e 6n+1 del nostro
Teorema n. 1, che rende chiaramente visibili le coppie
di Chen
(in cui
entrambi i numeri sono primi,
oppure solo uno è primo
e l’altro è un semiprimo, o entrambi semiprimi e in ogni caso la loro somma
è un numero pari; nel primo caso la somma di due numeri primi gemelli
è sempre un multiplo di 12,
e soddisfa la Congettura di Goldbach, del resto
valida per tutte le
infinite coppie di numeri primi con qualsiasi
differenza pari tra di loro, secondo la congettura
di Chen che
abbiamo dimostrato
con un altro lavoro: ogni numero pari d
è infinite volte la differenza tra due numeri primi, con d =2
nel caso dei numeri gemelli).
Premesso
che in qualsiasi sistema di numerazione a base b,
tale base finisce sempre con la cifra zero (per esempio 10
ne sistema di
numerazione a base 10, 10 nel sistema
di
numerazione a base 2,
ecc.) ed essendoci b cifre
compreso lo
zero,
scriviamo tutti i numeri in base 6 e ordinandoli in 6 colonne
per evidenziare le coppie di Chen nella 4° e nella 6°
colonna,
e anche in
base 10 per un semplice ma chiaro confronto visivo
tra i due sistemi:
sistema di numerazione a base
6 :
n 3n 6n-1
6n 6n+1
____________________________________________
1 1 2 3
4 5 10 11
2
12 13 14 15
20 21
3 22
23 24 25 30 31
4
32 33 34 35
40 41
5
42 43 44 45
50 51
6
52 53 54 55 100 101
7 102 103 104
105 110 111
… …. …. …. …. …. ….
sistema di numerazione a base 10
:
n 3n 6n-1
6n 6n+1
1 1 2 3 4 5 6 7
2
8 9 10 11
12 13
3
14 15 16
17 18 19
4
20 21 22
23 24 25
5
26 27 28
29 30 31
6
32 33 34
35 36 37
7
38 39 40
43 42 43
…
…. …. ….
…. …. ….
I numeri primi, in entrambi i sistemi, sono
sottolineati.
Si nota
facilmente che, nella rappresentazione dei numeri
col sistema a base
6, tutti i primi e i semiprimi
di forma 6n-1
finiscono tutti con la cifra 5, e tutti quelli d forma 6n+1,
invece, terminano con la cifra 1, rendendosi così facilmente
riconoscibili
insieme come primi e semiprimi (cosa che non
avviene con il sistema a base 10, dove essi finiscono con una
delle cifre
dispari 1, 3, 5,
7 e 9), mentre l’altra cifra
dispari
rimasta, il 3, rende facilmente riconoscibili tutti i
multipli
dispari di 3
(cosa che non avviene nel
sistema a base 10, dove per
riconoscere un multiplo di 3 occorre sommare le
cifre del
numero e dividere
tale somma per 3, e se essa è divisibile per
3, anche il numero
lo è, per il noto criterio di divisibilità per 3).
Nel sistema a
base 10, sono invece facilmente riconoscibili soltanto
i multipli dispari di 5, perché terminano tutti con la
cifra 5;
che è la metà
della base 10, come 3 è
la metà di 6, per cui
la regola generale secondo la quale i numeri facilmente
riconoscibili, in ogni sistema a base b, sono quelli
che
terminano
sempre con la cifra b/2.
Facendo
quindi dei calcoli con un sistema
a base 6,
manualmente
o elettronicamente con apposito software,
il risultato è facilmente riconoscibile come primo o semiprimo se finisce
con la cifra 5 se esso è di forma
6n-1, e con la cifra 1 se esso è di
forma
6n+1, tenendo conto che ovviamente
sia i primi che i semiprimi possono
terminare solo con 5 o con 1;
mentre tutti i multipli dispari di 3 finiranno
tutti con la cifr 3.
Così come,
per esempio, il numero primo più grande
finora
trovato ( vedi
rivista LE SCIENZE di febbraio 2006)
indicato come
formato da 9.152.052 cifre, e come numero
di Mersenne di
tipo 2^30.402.457 - 1, con
30.402.457 numero
primo, per via
della formula generale dei numeri di Mersenne
M = 2^p -1, con p numero primo.
Questo
nuovo enorme numero primo ora scoperto da Stever
Boone della
Central Missouri State University con l’aiuto di
700 computer,
deve quindi essere di forma 6n+1
per via del
nostro Teorema
n° 1, e terminare con la cifra
5 oppure con
la cifra
1 (secondo a quale forma
appartiene) se fosse scritto
col sistema di numerazione a base 6 accennato in
questo lavoro.
Se il Prof. Boone volesse controllare …
Il numero
primo p di 2^p -1 citato
30.402.457 è intanto
di forma 6n+1,
poiché (30.402.457-1) / 6
= 5.067.076 ,
(n
= ( p + 1 ) / 6) , ma
ciò non ci aiuta molto a stabilire
la forma del numero di Mersenne corrispondente
M
= 2^ 30.402.457 - 1;
in ogni caso deve anche
essere necessariamente di una delle forme possibili 6n + 1,
e terminare di
conseguenza per 5 o per 1 se fosse scritto
nel sistema di numerazione a base 6.