"METODO", N. 23/2007

Francesco Di Noto – Annarita Tulumello
(Gruppo Eratostene – Caltanissetta)
NUOVI TEOREMI 2007

 

 

    

C  O  N  G  E  T  T  U  R  E    S  U  I     N  U  M  E  R  I     P  R I  M  I

 

                       N  O N     A N C O R A     R I S O L T E

                      

 

                      ( L  e     n o s t r e       s o l u z i o n i )

      

 

        Su un sito Internet  (www.matematicamente.it)   abbiamo  trovato

 

la   serie, ancorché incompleta, delle congetture  sui numeri primi   non

 

ancora risolte  (risposta di Carlo Consoli ad uno studente); ma noi del

 

piccolo gruppo di ricerca matematica “ERATOSTENE” ne abbiamo

 

già risolte alcune, anzi quasi tutte  (nella suddetta serie mancano  la

 

Congettura di Riemann e la congettura  della fattorizzazione come

 

possibile problema  polinomiale, e possibilmente legata  alla cosiddetta

 

fattorizzazione veloce, il sogno  dei crittografi).

 

                     

       Ecco  di seguito la serie delle congetture  riportate da Internet,

 

e qui però seguite dalla nostra soluzione o proposta  di soluzione,

 

o dall’indicazione   del sito web dove  tale nostra soluzione è già stata

 

o sarà pubblicata.

 

 

 

1)     C o n g e t t u r a     d i    G o l d b a c h.

 

         per ogni numero pari  n > 2, esistono due numeri primi

 

         (non necessariamente distinti)   p   e  q  tali che  n = p + q.

 

 

     Congettura  dimostrata  dal nostro  gruppo ERATOSTENE,

 

soluzione positiva pubblicata sul  sito della rivista Internet

 

“METODO”  (vedi nota 1)  n. 20 – 2004, con successiva rettifica,

 

su METODO  n 21 – 2005 ,  formule   logaritmiche  per il calcolo del

 

numero delle coppie di Goldbach per  N = 10 ^n   e del numero delle

 

coppie di numeri gemelli fino a  N = 10^n.  Tale rettifica comprende

 

anche la dimostrazione della  successiva  relativa congettura n. 4 .

 

 

     

2)      P  R O B L E M A     D I   G O L D B A C H   S U I  N U M E R I

 

          D I S P A R I :

 

              Per ogni  numero dispari  n > 5 esistono tre numeri primi

 

            (non necessariamente distinti)  p, q, r  tali che p + q + r  =  n.

 

 

 La ricerca attuale sui numeri primi ha  risolto (Chen e Wang, 1989)

 

Il problema per   n  > 10 ^ 43000.

 

     

   Anche questo problema   è stato recentemente ( giugno 2005)

 

da noi  dimostrato.  La soluzione sarà pubblicata  quasi  certamente

 

sul prossimo numero   22-2006  di “METODO”, e non prevede né

 

il numero dispari minimo n > 10 ^ 43000,  né la dimostrazione

 

della congettura di  Riemann  (non necessaria, contrariamente a come

 

pensava, nemmeno alla dimostrazione della congettura di Goldbach

 

e  della congettura dei numeri gemelli, e forse non sarà

 

necessaria nemmeno alla  fattorizzazione come possibile problema

 

polinomiale). Il nostro numero  minimo è soltanto  7 = 2 + 2 + 3,

 

e la nostra soluzione si basa sulla congettura di Goldbach, ormai però

 

da considerato teorema a tutti gli effetti, perché ormai da noi

 

dimostrato.

 

 

3)             Ogni numero dispari è scrivibile per differenza di due

 

numeri primi.

 

“Per ogni numero dispari, esistono due numeri primi p e q

 

tali che  n = q – p”.

 

 

Obiezione negativa di ERATOSTENE:  tale congettura  è

 

chiaramente impossibile,   poiché è noto (ma la cosa sarà

 

certamente sfuggita all’autore della suddetta  congettura)

 

che la differenza tra due numeri dispari , e i numeri primi

 

sono tutti  dispari tranne il 2,  è sempre pari. Solo se si

 

considera il 2 come uno dei numeri primi, e cioè p = 2, la

 

congettura  è valida, e riguarda i numeri primi gemelli,

 

per i  quali   q – 2 = p,  e  p  * 2 = q, vedi successiva

 

omonima  congettura  n. 4.  (solo in tal caso la differenza tra

 

due numeri primi è dispari, poiché uno dei due numeri

 

primi, il  2, è pari, e l’altro è dispari, e quindi la loro

 

differenza è dispari,  come tutti gli altri numeri dispari

 

q  gemelli di  p;  in tutti gli altri casi, la differenza  tra due

 

numeri primi è  necessariamente sempre pari,, come si vedrà

 

nella successiva   congettura n. 5).

 

 

4)    C O N G E T T U R A    D E I   N U M E RI     P R I M I

 

        G E M E L L I:

 

         “Esistono infiniti  numeri primi gemelli”.

 

          Congettura  dimostrata  anche questa dal nostro

 

Gruppo ERATOSTENE” . Soluzione positiva pubblicata

 

su METODO  n.  21 – 2005  (vedi nota 1 ).

 

5)    Ogni numero pari è ottenibile come differenza di infinite

 

         coppie di numeri primi consecutivi:

 

         “ Per ogni n pari, esistono infiniti  numeri primi

 

           consecutivi p e q  tali che  n  =  p – q.    (con n pari =2k)

 

Questa congettura  (Polignac, 1849) è una generalizzazione

 

della  congettura dei primi gemelli, che si ottiene ponendo

 

 n = 2”.   (e quindi  semidifferenza n/2 = k  =1 = per i

 

numeri primi gemelli, per i quali n =2.

 

 Congettura anche questa  dimostrata da ERATOSTENE,

 

con  ragionamenti, griglia numerica  ecc. simili a quelli per

 

la congettura di  Goldbach, della quale costituisce l’opposto

 

(n pari come differenza  pari tra due numeri primi

 

anziché  come somma). Tale nostra soluzione sarà pubblicata

 

su METODO  n.  22- 2006, insieme alla soluzione della

 

congettura  n. 2  ( n dispari come somma di tre numeri primi).

 

  Questa congettura n. 4 è, come dice  giustamente la

 

definizione, un’estensione della congettura sui gemelli, ma

 

con  q – p  =   n pari qualsiasi anziché 2  come nei gemelli.

 

 

6)     “ESISTONO INFINITI  p  TALI CHE  p = (n^2) + 1

 

PER   OGNI   n.”

 

 

 

Proposta di soluzione di   “ERATOSTENE” :

 

Consideriamo la seguente tabella numerica :

 

                   2

n              n    + 1              p               forma   6*m  +  1

                                                            (da Teorema n. 1)

 

1               1  +  1     =        2     primo

 

2                4  +  1     =        5    primo              6*1 – 1

 

3                 9  +  1    =        10

 

4                16 +  1     =        17  primo             6*3 - 1  

 

5                 25 +  1    =         26

 

6                  36 + 1     =         37   primo            6*6 + 1

 

7                   49 + 1    =          50

 

8                    64 + 1   =           65

 

9                     81 + 1   =           82

 

10                 100 + 1    =           101  primo           6*17 – 1

 

 

==                  ======              ========            =======

 

 

 

Poiché i numeri primi di forma   (n^2)  - 1,   e anche

 

necessariamente di forma  6*m + 1 al causa del

 

Teorema n.1,   crescono con  il crescere di n   (per

 

esempio fino a 10 ci sono i due  numeri primi  2 e 5,

 

fino a 100 ci sono i  quattro primi  2,  5,   17   e 37  ecc.,

 

essi, per la congettura generale  di ERATOSTENE,

 

(tutti i numeri primi di forma particolare oltre che della

 

forma generale    6*m  + 1 , sono  anch’essi  infiniti

 

come tutti i numeri primi),  sono infiniti, poiché la loro

 

curva segue, sebbene a livello più basso, la curva generale

 

 logaritmica dei numeri primi.

 

 

 

7)      ESISTONO INFINITI  PRIMI   q  TALI CHE

 

           q  =  ( 2^p )  -  1,    OVE  p  E’   PRIMO.

 

 

    Si tratta dei  numeri di Mersenne.

 

 Soluzione positiva   dimostrata da noi di

 

ERATOSTENE, ma non ancora pubblicata.

 

E’ collegata alla congettura generale di cui sopra

 

sull’infinità di tutti i numeri primi di forma particolare:

 

Mersenne,  Fermat,  gemelli,   (n^2) + 1 della

 

precedente congettura, ecc .ecc..

 

 

 Il ragionamento e la  relativa tabella sono simili

 

a quelli della congettura precedente.

 

 

8)      “ ESISTONO   INFINITI PRIMI TALI CHE

 

            p  =   (2^2n  + 1  per ogni n?”

 

 

 

Proposta di soluzione  di ERATOSTENE:

 

Tabella e ragionamento siili a quelli delle due congetture

 

precedenti, e anche questa è collegata alla congettura

 

generale sull’infinità  dei numeri primi di forma

 

particolare.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      Tabella

 

 

  

 

n             (2^2n) + 1                    p             forma generale

 

 

1                  4  +   1              =         5   primo          6*1 – 1

 

2                  16 + 1                =       17   primo          6*3 – 1

 

3                   64 + 1                =      65

 

4                  256 + 1               =      257 primo          6*43 – 1

 

5                1024 +  1               =    1025

 

 6                4096 + 1                =    4097

 

 7             16384 + 1                  =  16385

 

====       =======                   =======                =======

 

 

   Conclusione simile, anche se la tabella   di  cui sopra non

 

può   essere  da noi proseguita per la non disponibilità di

 

tavole di numeri primi superiori a 10.000,  a quella della

 

congettura    n. 6    (  il numero  dei  numeri primi di

 

forma particolare cresce con n,  e in modo direttamente

 

proporzionale  al numero dei numeri primi,  e poiché

 

questi sono infiniti,  anche i numeri primi di forma

 

particolare  (per es. gemelli ) o primi e non primi di

 

forma particolare, come per es. quelli di cui alle

 

congetture precedenti , sono anch’essi a loro volta

 

 infiniti  (vedi nota 2  sui sottoinsiemi infiniti di un

 

insieme infinito,  cosa alla base della nostra congettura

 

 generale  sull’infinità dei numeri primi particolari).

                                                                          2n

   Quindi, anche i numeri primi di forma   2     + 1

 

sono    anch’essi infiniti.

 

 

9)      Esiste sempre un numero primo p tra due

 

quadrati   perfetti consecutivi?

 

“PER  OGNI  n,   ESISTE SEMPRE  UN

                                                               

NUMERO PRIMO p  TALE CHE  n^2 <p<(n+1)^2.

 

 

Risposta positiva e dimostrazione  del gruppo

 

ERATOSTENE:

 

    tra   due quadrati perfetti consecutivi  esiste

 

sempre almeno un numero primo,  e  in generale un

 

numero di numeri primi compreso tra  1  e

 

 

k  = 2n +1     numeri primi. Questo perché tra

          3

 

due quadrati perfetti  ci sono  2n + 1 unità, e

 

poiché, per il Teorema n. 1,   in tale intervallo

 

numerico ci sono circa   2n +1    numeri primi

                                             6

 

di forma  6m – 1    e  altrettanti di forma  6m + 1,

 

ne consegue che   ci saranno al massimo

 

2(6m +-1)     =  k  =  2n  +- 1   numeri primi,  come

6                                    3

 

                               da tabella successiva:

 

 

 

n     n^2   -   (n – 1)^2 =  d     k = 2n +1      k reale      numeri

                                                           3                         primi compresi in d

 

1            1        -    0        =   1                1           0            nessuno

 

2             4        -   1         =  3                1,6        2            2   e    3

 

3              9        -   4        =  5                2,33      2             5   e   7

 

4             16       -    9       =  7                3           2            11  e  13

 

5              25       -  16      =   9                3,6        3            17,  19 e 23 

 

6               36       - 25       =  11               4,3        2            29  e   31

 

 7               49      -   36      =  13               5           4            37,  41,  43  e 47

 

 

 

8                64        -   49       =  15               5,6       3           53,   59    e   61

 

9                 81        -  64        =  17               6.3       4           67, 71, 73 e 79

 

10              100       -   81        =  19               7          3           83,  89   e  97

 

…..             ….           …..           ….             …..       ….        ……………..

 

   Poiché   la differenza d tra due quadrati perfetti consecutivi

 

  d = 2n+1  cresce al crescere di n,  anche k  statistico e k reale

 

crescono al crescere di n;  e poiché anche k reale  (numero dei numeri

 

primi compreso nell’intervallo d  è  sempre  maggiore  di 1  anche

 

a partire da n = 2    ( solo per n = 1    k   è nullo,  e cioè  k = 0 ),

 

la  congettura   è   valida   da  n = 2 in poi    e da ora in poi  può

 

già   considerarsi   dimostrata.

 

 

10)      Esiste   sempre  un numero primo tra due quadrati perfetti

 

            consecutivi?

 

             PER OGNI   n > 1   ESISTE SEMPRE UN NUMERO

 

             PRIMO   p   TALE CHE    n^2   <  p  < (n^2  + n) ?

 

     Innanzitutto, l’enunciato della congettura  è errato, poiché

 

il quadrato  consecutivo  a n^ 2   è   (n+1)^2   è   n^2 + 2n +1, e si

 

ricade nella congettura precedente n. 9.   Per esempio,

 

il quadrato  successivo a  9^2  = 81  è    81+ 2*9 +1  = 10^2 =100

 

mentre   n^2  +  n è una cosa diversa,  per esempio,   9^2 + 9  = 90

 

e non 100.  L’enunciato esatto quindi non deve riferirsi  a due

 

quadrati   perfetti consecutivi,  ma semplicemente alla somma

 

n^2 + n; e quindi  esposto come segue:

 

   “ Esiste  sempre un numero  primo tra un quadrato perfetto

 

e  la somma   tra tale quadrato perfetto  e la sua  radice quadrata,

 

e quindi   tra n ^2   e    n^2  + n?”  . La seconda parte dell’enunciato

 

invece è espressa correttamente:

 

      PER  OGNI  n > 1 ,   ESISTE   SEMPRE UN NUMERO PRIMO

 

p  tale  che  n^2  < p <   (n^2  + n)  ?

 

    Dimostrazione   positiva del nostro gruppo ERATOSTENE.

 

    Tra un quadrato  perfetto    n^2 e la somma  n^2 + n c’ è sempre

 

  almeno un   numero primo,  poiché  si ricade nella congettura

 

precedente, limitata a  n^2  + n  anziché a  n^2 + 2n+1  (la  versione

 

esatta  dell’intervallo tra due quadrati perfetti consecutivi), e quindi,

 

in questa  nuova congettura,  abbiamo  d’ =  n/2  e  k’ =  k/2,  con

 

k’  reale  ugualmente sempre maggiore di 1 se si rifà la tabella

 

con i nuovi valori  di n,  n^2 + n,   k’  =  k/2.

 

 

Per   esempio, per  n  = 1,   1^2  + 1  =  1 + 1 =  2  e tra 1 e 2 c’è il

 

numero primo 2;

 

per n =2,   2^2 +2 = 4  + 2 = 6    e tra 4 e 6  c’è  il numero primo 5;

 

                         

per n = 3,    3^2 +3 =  9 + 3 = 12, e tra  9 e 12 c’è il numero primo 11;

 

per  n = 4,    4^2 +4 = 16 + 4 = 20, e tra 16 e 20 ci sono i numeri

 

        primi 17  e 19;

 

per   n = 5,     5^2 + 5 = 25 + 5 =  30 , e tra 25 e 30 c’ è il  n. primo 29;

 

per    n = 6,     6^2 + 6 = 36 + 6 = 42, e tra 36 e 42 ci sono i numeri

 

          primi  37 e 41;

 

per     n = 7,   7^2 +7  = 49 + 7 = 56, e tra 49  e 56 c’è il n. primo 53;

 

per      n = 8,   8^2 + 8  = 64 + 8 = 72,  e tra 64 e 72  ci sono i numeri

 

          primi  67 e 71,

 

per     n = 9,  9^2 +9 = 81+9 = 90, e tra 81 e 90 ci sono i numeri

 

           primi  83,   e 89;

 

per n = 10,  10^2 + 10 = 100+10 = 110, e tra 100 e 110 ci sono i

 

 

             numeri primi 101,  103,  107,

 

e così via, con k’  (numero di numeri primi tra n^2 e  n^2 + n)

 

sempre più grande, e quindi sempre più grande di 1, poiché al crescere

 

di n ci sono sempre più primi  nella differenza n tra n^2 e  n^2 +n,

 

e cioè  n^2 + n  - n^2   =  n.

 

    La congettura quindi è dimostrata, e da ora può essere considerata

 

un  teorema  a tutti gli effetti, come le precedenti congetture

 

dimostrate in questo  lavoro, o in altri  lavori ( es. Goldbach e

 

gemelli).   Di conseguenza, non è vera la congettura di Brocard,

 

secondo la quale “ tra due quadrati di due numeri consecutivi,

 

maggiori di due,    ci sono almeno quattro numeri primi”, poiché,

 

come abbiamo visto, ce ne sono al massimo   2n+-1

                                                                                3

 

 

10) Congettura di Oppermann:

 

pi (n^2  +  n)  > pi    (n^2)   >   pi  (n^2  -  n)         (n > 1)

 

 

   Questa e la congettura precedente  sono automaticamente

 

dimostrate    qualora si provi che  la differenza tra un primo  p

 

e il successivo tende alla costante  (log p )^2.

 

 

      Considerazioni di  ERATOSTENE:

 

questa congettura praticamente dice una  cosa ovvia ,  e cioè  che il

 

numero pi dei numeri primi   fino a   n^2   +  n   è  maggiore dei

 

numeri primi fino a  n^2   ed è ancora maggiore del numero

 

dei numeri primi fino a  n^2 -  n  ,    visto che il numero  dei numeri

 

primi cresce  in modo logaritmico con  n, quale che sia la forma

 

di n   (in questo caso  un quadrato perfetto  n^2,   più  o meno la  sua

 

radice  quadrata n.  Comunque, per  dimostrare la congettura in

 

modo  formale, ricorriamo al solito metodo della tabella con valori

 

crescenti  di n, e dei numeri primi  compresi nelle differenze tra n

 

e gli altri numeri ad esso  collegati:

 

 

 n    n^2   - n    pi(n^2-n)    n^2      pi (n^2)     n^2 +  n    pi(n^2 +n)

 

  1         0                   0             1            0                 2            1  (solo il  2)

  

   2         2                   1             4            2                 6           3   ( 2, 3 e 5)

 

    3         6                   3             9           4                 12         5  (2,3,5,7,11)

 

    4        12                  5           16           6                 20         7

 

    5         20                 8           25           9                30        10

 

    6         30                10           36          11               42        13

 

    7         42                13           49          15                56        16

 

    8         56                16           64          18                72        20

 

                                                                           

 

     come  si vede,  pi cresce  gradualmente con n, e quindi  anche con

 

      n^2-n,   n^2   e  n^2 +n.

 

   La congettura  quindi  è  vera  poiché  i tre  pi  crescono

 

gradualmente al crescere di n rispettando  i rispettivi loro valori

 

crescenti per ogni singolo n , come da enunciato.

 

   Tutte  le  11 congetture  sono state quindi  da noi dimostrate,  o

 

seguite dalle nostre proposte di soluzione, con l’esclusione

 

della  congettura n. 3, manifestamente infondata, poiché la

 

differenza tra due numeri primi dispari è sempre pari.

 

    Tutte le congetture suddette,  per quanto più o  meno

 

interessanti,  non  sono però di grande aiuto   per la dimostrazione

 

delle due congetture più importanti sui numeri primi, e cioè  la

 

congettura di Riemann,  e la fattorizzazione come possibile 

 

problema polinomiale,  due dei famosi “problemi del millennio”

 

elencati da Hilbert  e compresi tra quelli selezionati dal Clay

 

Mathematics per  il premio da un milione di dollari. Ma forse la

 

nostra soluzione della congettura di Goldbach potrebbe  essere

 

di qualche aiuto alla soluzione del  secondo problema, se si potesse

 

risalire, da un prodotto di due primi  N = p*q   alla  somma di

 

Goldbach    N’  =   p + q.    Solo in tal caso, sfruttando teoremi

 

precedenti, si potrebbe risalire successivamente  a p e q, anche per

 

  tentativi  probabilmente più  semplici di quelli della fattorizzazione

 

 convenzionale    (divisioni di N per tutti i numeri primi fino a

 

n   =   radice quadrata  di N).      In seguito  lavoreremo anche

 

a questa  possibilità, per poter partecipare al  concorso  del Clay

 

in caso di  risultati  e interessanti positivi della nostra ricerca.

 

  Per quanto riguarda la Congettura di Riemann,  essa è ancora

 

più difficile,   e secondo noi  poiché essa riguarda  una ancora

 

presunta  ma non dimostrata regolarità  complessa  (retta reale

 

½  sulla quale giacciono   le parti reali  degli zeri della funzione

 

complessa  zeta   di  Riemann),  si potrebbe affrontare   studiando

 

a fondo  le regolarità aritmetiche  emergenti dal nostro Teorema

 

n. 1   (forma generale dei numeri primi   P =  6* n +- 1 ma non

 

viceversa, con esclusione dei soli numeri primi 2  e  3 che sono

 

di forma  6*0  +2   =2   e  6*0 + 3   = 3), e da teoremi  sue

 

conseguenze ed eventuali varianti:   in altre parole, il

 

nostro ordine  aritmetico, integrato con l’ordine logaritmico

 

( Teorema dei numeri primi,  formule logaritmiche per il

 

calcolo di  approssimativo di p(N) e del numero delle coppie di

 

Goldbach e delle coppie di numeri gemelli fino a un dato N, ecc.)

 

dovrebbe portare a indizi  positivi anche per l’ordine complesso zeta

 

e da qui, poi alla dimostrazione vera e propria della Congettura di

 

Riemann,  molto interessante  anche per molti fenomeni fisici

 

In cui sembra essere coinvolta  (livelli energetici degli atomi,ecc.), oltre

 

che per la matematica  ( già centinaia di teoremi  cominciano con la

 

frase “se l’ipotesi di Riemann fosse esatta… ). Anche a queste

 

fondate possibilità dedicheremo future ricerche,  e anche per

 

poter partecipare al concorso Clay in caso di possibili risultati

 

interessanti.   Quindi, concludendo,  le  eventuali  nuove congetture

 

sui numeri primi più interessanti dovrebbero essere quelle che

 

potrebbero  essere di qualche aiuto alla soluzione dei due 

 

suddetti  e grossi problemi del millennio riguardanti i numeri

 

primi, e cioè la Congettura di Riemann e la fattorizzazione

 

come possibile problema polinomiale, dalla quale poi si

 

potrebbe eventualmente  passare ad una fattorizzazione  veloce

 

non convenzionale).

 

 

 

                                                         ERATOSTENE

 

 

Nota 1.    Queste congetture e proposte di soluzioni uguali o

 

simili  a quelle riportate in questo lavoro sono state già pubblicate,

 

in una precedente versione, sul sito web:

 

                          www.salvatorebaldinu.it

 

 

mentre la soluzione  di Goldbach e rettifiche alle equazioni precedenti,

 

insieme alla  dimostrazione della congettura sugli  infiniti  numeri

 

gemelli, sono state pubblicate  sui numeri 20 e 21   (sul n. 19 ci sono

 

tre nostri importanti teoremi, il n. 1, il n 13  e il n 14)

 

della rivista Internet  “METODO” al sito:

 

 

    http://www.geocities.com/g_armillotta/metodo20/di_noto/indice2.html

 

vedere anche il n  22  - 2006   ( giugno 2006) con altri

 

interessanti lavori:    N  dispari come somma di tre numeri primi,

 

senza bisogno di enormi numeri minimi, ecc), soluzione della

 

 congettura n. 5  o di Chen   (sulla differenza pari tra due numeri

 

primi, con  caso particolare   i  numeri gemelli  con d = 2 =  q – p).

 

 

 

Nota 2  sulla congettura generale:

 

così   come l’insieme  infinito  N dei numeri naturali ha i suoi

 

sottoinsiemi infiniti  di numeri in qualche modo legati  ai

 

singoli numeri n, per esempio quadrati  o cubi ecc   di n,

 

anche per l’insieme infinito P dei numeri primi potrebbe

 

farsi lo stesso discorso:  anch’esso  ha i suoi sottoinsiemi

 

infiniti, costituiti da numeri primi particolari (gemelli,

 

di Mersenne, di Fermat)  o da numeri ad essi legati da

 

qualche formula particolare, per es. i numeri  perfetti.

 

Poiché anch’essi crescono con N e quindi con P, e le loro

 

curve logaritmiche seguono, sebbene  a un livello più

 

basso  a seconda della loro  crescente rarità, per es.

 

i numeri primi di Mersenne, la curva generale logaritmica

 

di tutti  gli infiniti  numeri  primi P, che così  si trascinerebbero

 

dietro (in questo caso in basso)  anche l’infinità  di tutti i

 

suoi sottoinsiemi di numeri primi particolari: gemelli,

 

di Mersenne, di Fermat,  ecc. ecc.), poiché anche le loro curve sul

 

piano cartesiano  tendono verso l’alto,  e quindi verso l’infinito,

 

proprio esattamente  come la curva “madre”  P di tutti gli infiniti

 

numeri primi ( la cui infinità, com’è noto, è stata dimostrata da

 

Euclide;  noi ora  dimostriamo anche la conseguente infinità

 

di tutti i sottoinsiemi P’  di P, e costituiti da numeri primi di forma

                  

aritmetica particolare.