"METODO", N. 23/2007

Francesco Di Noto – Annarita Tulumello
(Gruppo Eratostene – Caltanissetta)
NUOVI TEOREMI 2007

             

                        N   U   M   E   R   I            P    R   I   M    I

 

                              E         S   E   M   I    P   R    I    M    I

 

                  C   O   M   E        S   E   M   I    G   R    U   P   P   O

                         

 

 

       TEOREMA:      l’insieme P dei numeri primi  (tranne il 2 e il 3)

 

e  dei  semiprimi (prodotti tra due o più numeri primi, sempre

 

tranne  il  2  e  il 3),    costituiscono  un semigruppo algebrico

 

commutativo,  con il  la moltiplicazione  come

 

operazione,  e la fattorizzazione come  operazione inversa

 

(divisione del numero più grande per il più piccolo e con resto  zero);

 

e come elemento neutro il numero  1.

 

       DIMOSTRAZIONE:

 

       In base  al nostro Teorema n°. 1, tutti i numeri  primi e 

 

semiprimi  (tranne il 2  e il  3)  sono di forma  generale:

 

                                       P   =    6*n  +  1

 

per  esempio   47  =  6*8 – 1, con 47  numero primo;

 

65=  6*11 -1, con  65 = 5*11  = semiprimo, ecc.

 

Solo i  numeri primi 2 e 3  non sono di  tale  forma, a differenza

 

di. tutti gli altri infiniti numeri primi e semiprimi.  2   e   3  sono

 

infatti di forma  6*0 + 2  =  2     e    6*0 + 3   =  3.   Anche  il numero

 

1, come tutti   i numeri primi,   è di forma   6*n + 1,  infatti

 

6*0  +  1   =  +  1   e quindi    1    e   -1 ;    e naturalmente è  il

 

numero neutro  del semigruppo  P   poiché   a*1  = a   e  a/1 = a,

 

secondo  le regole della teoria algebrica dei gruppi.

 

       Nel nostro semigruppo  P  (semigruppo poiché manca della

 

operazione di addizione e della sua inversa sottrazione),  l’operazione

 

consentita  affinché ogni  prodotto di uno o più elementi del 

 

semigruppo   sia anch’esso un elemento del semigruppo, è  soltanto

 

la moltiplicazione     a*b  = c    con  c  appartenente   a  P;  e con

 

operazione inversa  la fattorizzazione,  cioè la sola divisione  con

 

resto  zero  tra un elemento  m  ed un elemento  più piccolo p,

 

tale che  m / p  = q   intero, e quindi p*q = m, ma non viceversa:

 

    non sono ammessi  p/m     oppure q/m, poiché  i  rispettivi

 

risultati non appartengono all’insieme infinito  P = 6*n +  1,

 

contenente  tutti i primi  tranne  il 2  e il 3,  e tutti i semiprimi

 

m  = p*q     con p e q primi o semiprimi  anch’essi,  entrambi o

 

anche uno solo, per es .   455 = 7*65 ,  con 7 primo  e 65 = 5*13.

 

      Anche i numeri  primi  e semiprimi negativi  appartengono a P,

 poiché anche  -m  è divisibile per p, dando come risultano

  –q:  -m/p = -q,   e  -q*p = -m, e cosi via.

       In tal modo,  si potrebbero studiare  i numeri primi anche da

 

questo nuovo  punto di vista, finora trascurato, e che potrebbe

 

portare a qualche risultato utile i matematici che volessero

 

approfondirlo  ( questa è soltanto una proposta che riteniamo

 

interessante).   Ma  si potrebbero studiare  anche i  “sottosemigruppi”

 

(o sottoinsiemi )  di P,  sicuramente  anch’essi infiniti

 

(abbiamo un lavoro in corso in tal senso)  dei numeri primi

 

particolari  :   di Mersenne, di Fermat, di Fibonacci,  o collegati

 

ai fattoriali   ( n! +  1)  , o ai primoriali   ( #  + 1),  oltre che  le

 

coppie di numeri  gemelli    o alle coppie di Goldbach  (per le

 

soluzioni positive delle congetture di Goldbach e dei numeri

 

gemelli   abbiamo pubblicato due lavori a parte su “METODO”

 

  20 - 2004   e   21 -  2005).

 

     Inoltre   questo  nuovo approccio  algebrico allo studio dei numeri

 

primi come  possibile  semigruppo commutativo, potrebbe essere

 

utile anche  alla ricerca di una  possibile soluzione della congettura 

 

di  Birch – Swinnerton - Dyer,  uno dei sette problemi del millennio e

 

legata  ai numeri primi  tramite le curve ellittiche  (usate anche

 

in crittografia in alternativa al sistema RSA legato più diretta-

 

mente ai numeri primi, per via della difficile fattorizzazione,

 

l’operazione inversa del nostro semigruppo algebrico);  tale

 

congettura  è collegata anche ai gruppi  Z/nZ,  e quindi alla

 

lontana  ci potrebbe essere una qualche possibile relazione tra

 

semigruppo P  e   tali gruppi  Z/nZ  della congettura di  Birch-

 

Swinnerton – Dyer.    E infine,  ci potrebbe  perfino essere 

 

qualche possibile relazione   anche  tra il semigruppo P e  il

 

problema del millennio  P versus NP,  un esempio dei quali è

 

proprio la fattorizzazione di prodotti di due grandi numeri

 

primi, che richiederebbe anni e anni o anche secoli di calcoli

 

( e su tale  difficoltà si basa, com’è noto, il sistema crittografico

 

RSA).  Quindi, poiché  tra  gruppi e semigruppi algebrici c’è

 

sempre qualche relazione matematica,   lo studio del semigruppo

 

P da noi proposto potrebbe rivelarsi fruttuoso  sia per i problemi

 

del millennio   costituiti   dalla  congettura di Birch – Swinnerton

 

Dyer  sulle curve ellittiche, sia da   P versus  NP  (qui P non  è il

 

nostro semigruppo  ma  vuol dire  Polinomiale); ma anche, non

 

è da escludere a priori, anche in altri campi della matematica distanti

 

da quelli   concernenti i problemi dei numeri primi (curve

 

ellittiche, fattorizzazione,  ecc.).  

 

       La  congettura di  Birch – Swinnerton  - Dyer  è collegata

 

anche all’aritmetica modulare   (vedasi libro di  K. Devlin

 

“I problemi del  millennio” , Longanesi, capitolo “ Sapere

 

quando un’equazione  non può essere risolta), e tale  aritmetica

 

modulare  potrebbe essere collegata ad un sistema di numerazione

 

con base diversa da 10,  per esempio 6 (collegando 6 alla  forma

 

generale dei primi e semiprimi  P  = 6*n  + 1) ; così, studiando

 

in seguito insieme  semigruppo P, aritmetica modulare e  sistema

 

di numerazione in base 6 (anziché  2 come nel  noto sistema binario

 

usato nell’informatica  o 10 come nel sistema  normalmente usato),

 

si potrebbero scoprire cose molto interessanti: per esempio, primi

 

e semiprimi finirebbero  entrambi con le cifre 5 e 1, e quindi

 

facilmente riconoscibili come tali; mentre i multipli dispari di 3

 

terminerebbero tutti con la cifra 3  (come i multipli dispari di 5

 

per es. 15,  25,   35,  … 1995… ecc.  nel sistema a base 10), poichè

 

le cifre  7  e   9  non sono presenti  in un sistema a base  6

 

(dove le cifre dispari  sono  solo 1,  3   e  5 ).

 

       Abbiamo in corso un lavoro su questo   sistema  di numerazione

 

a base 6,  con il quale  collegare  il semigruppo  P  tramite il nostro

 

Teorema n. 1, con la  suddetta  constatazione (e relativa

 

Dimostrazione)    sulla cifra finale  necessariamente  5  oppure  1

 

di ogni numero primo  o semiprimo appartenente  al   semigruppo 

 

algebrico  P  oggetto di questo lavoro.

 

     Alla fine, combinando  bene insieme  semigruppo P, Teorema n.1,

 

aritmetica modulare  e sistema di numerazione a base 6, e studiando

 

i numeri  primi  sulla base di questa combinazione di   nostri teoremi

 

e relative  dimostrazioni, si potrebbe  forse scoprire qualcosa di

nuovo e possibilmente anche di interessante sui numeri primi ( e più in

generale, anche sulla Teoria dei  numeri), con particolare attenzione

alle congetture – problemi del millennio  come la congettura di

Birch-Swinnerton-Dyer , la congettura di Riemann e il 

Problema  P  versus NP, tutte e tre  più o meno  direttamente

 

collegate ai numeri primi.