Francesco Di Noto Annarita Tulumello
(Gruppo Eratostene Caltanissetta)
NUOVI TEOREMI 2007
C
O N G E T T U
R E S U I
N U M E R I P
R I M I
N O
N A N C O R A R I S O L T E
( L e
n o s t r e s o l u z i o n
i )
Su un sito Internet (www.matematicamente.it) abbiamo trovato
la serie, ancorché incompleta, delle
congetture sui numeri primi non
ancora
risolte (risposta di Carlo Consoli ad
uno studente); ma noi del
piccolo
gruppo di ricerca matematica “ERATOSTENE” ne abbiamo
già
risolte alcune, anzi quasi tutte (nella
suddetta serie mancano la
Congettura
di Riemann e la congettura della
fattorizzazione come
possibile
problema polinomiale, e possibilmente
legata alla cosiddetta
fattorizzazione
veloce, il sogno dei crittografi).
Ecco di seguito la serie delle congetture riportate da Internet,
e
qui però seguite dalla nostra soluzione o proposta di soluzione,
o
dall’indicazione del sito web
dove tale nostra soluzione è già stata
o
sarà pubblicata.
1) C
o n g e t t u r a d i G o l d b a c h.
per ogni numero pari n
> 2, esistono due numeri primi
(non necessariamente distinti)
p e q tali che n = p + q.
Congettura dimostrata dal nostro
gruppo ERATOSTENE,
soluzione positiva pubblicata sul sito della rivista Internet
“METODO” (vedi nota 1) n. 20 –
2004, con successiva rettifica,
su METODO n 21 – 2005 ,
formule logaritmiche per il calcolo del
numero delle coppie di Goldbach per N = 10 ^n
e del numero delle
coppie di numeri gemelli fino a N = 10^n.
Tale rettifica comprende
anche la dimostrazione della successiva
relativa congettura n. 4 .
2)
P R O B L E M A D I
G O L D B A C H S U I N U M E R I
D I S P A R I :
“ Per ogni numero dispari n > 5 esistono tre numeri primi
(non necessariamente distinti) p, q, r
tali che p + q + r = n.
La ricerca attuale sui numeri primi ha risolto (Chen e Wang, 1989)
Il problema per n
> 10 ^ 43000.
Anche questo problema è stato
recentemente ( giugno 2005)
da noi
dimostrato. La soluzione sarà
pubblicata quasi certamente
sul prossimo numero 22-2006
di “METODO”, e non prevede né
il numero dispari minimo n > 10 ^
43000, né la dimostrazione
della congettura di Riemann
(non necessaria, contrariamente a come
pensava, nemmeno alla dimostrazione
della congettura di Goldbach
e
della congettura dei numeri gemelli, e forse non sarà
necessaria nemmeno alla fattorizzazione come possibile problema
polinomiale). Il nostro numero minimo è soltanto 7 = 2 + 2 + 3,
e la nostra soluzione si basa sulla
congettura di Goldbach, ormai però
da considerato teorema a tutti gli
effetti, perché ormai da noi
dimostrato.
3)
Ogni numero dispari è scrivibile per differenza di due
numeri
primi.
“Per ogni
numero dispari, esistono due numeri primi p e q
tali
che n = q – p”.
Obiezione
negativa di ERATOSTENE: tale
congettura è
chiaramente
impossibile, poiché è noto (ma la cosa
sarà
certamente
sfuggita all’autore della suddetta
congettura)
che la
differenza tra due numeri dispari , e i numeri primi
sono
tutti dispari tranne il 2, è sempre pari. Solo se si
considera il
2 come uno dei numeri primi, e cioè p = 2, la
congettura è valida, e riguarda i numeri primi gemelli,
per i quali
q – 2 = p, e p *
2 = q, vedi successiva
omonima congettura
n. 4. (solo in tal caso la
differenza tra
due numeri
primi è dispari, poiché uno dei due numeri
primi,
il 2, è pari, e l’altro è dispari, e
quindi la loro
differenza è
dispari, come tutti gli altri numeri
dispari
q gemelli di
p; in tutti gli altri casi, la
differenza tra due
numeri primi
è necessariamente sempre pari,, come si
vedrà
nella
successiva congettura n. 5).
4) C O N G E T T U R A D E I
N U M E RI P R I M I
G E M E L L I:
“Esistono infiniti numeri primi gemelli”.
Congettura dimostrata anche questa
dal nostro
Gruppo
ERATOSTENE” . Soluzione positiva pubblicata
su
METODO n. 21 – 2005 (vedi nota 1 ).
5) Ogni numero pari è ottenibile come
differenza di infinite
coppie di numeri primi consecutivi:
“ Per ogni n pari, esistono infiniti numeri primi
consecutivi p e q tali che
n = p – q. (con n pari =2k)
Questa
congettura (Polignac, 1849) è una
generalizzazione
della congettura dei primi gemelli, che si ottiene
ponendo
n = 2”.
(e quindi semidifferenza n/2 =
k =1 = per i
numeri primi
gemelli, per i quali n =2.
Congettura anche questa dimostrata da ERATOSTENE,
con ragionamenti, griglia numerica ecc. simili a quelli per
la
congettura di Goldbach, della quale
costituisce l’opposto
(n pari come
differenza pari tra due numeri primi
anziché come somma). Tale nostra soluzione sarà
pubblicata
su
METODO n. 22- 2006, insieme alla soluzione della
congettura n. 2
( n dispari come somma di tre numeri primi).
Questa congettura n. 4 è, come dice giustamente la
definizione,
un’estensione della congettura sui gemelli, ma
con q – p
= n pari qualsiasi anziché
2 come nei gemelli.
6) “ESISTONO
INFINITI p TALI CHE p = (n^2) + 1
PER OGNI
n.”
Proposta di
soluzione di “ERATOSTENE” :
Consideriamo
la seguente tabella numerica :
2
n n + 1 p forma 6*m + 1
(da
Teorema n. 1)
1 1 + 1
= 2 primo
2 4 + 1 =
5 primo 6*1 – 1
3 9 + 1 =
10
4 16 + 1 = 17
primo 6*3 - 1
5 25 + 1 = 26
6 36 + 1 =
37 primo 6*6 + 1
7 49 + 1 =
50
8 64 + 1 =
65
9 81 + 1 =
82
10 100 + 1 = 101
primo 6*17 – 1
== ====== ======== =======
Poiché i
numeri primi di forma (n^2) - 1,
e anche
necessariamente
di forma 6*m + 1 al causa del
Teorema
n.1, crescono con il crescere di n (per
esempio fino
a 10 ci sono i due numeri primi 2 e 5,
fino a 100
ci sono i quattro primi 2,
5, 17 e 37 ecc.,
essi, per la
congettura generale di ERATOSTENE,
(tutti i
numeri primi di forma particolare oltre che della
forma generale 6*m
+ 1 , sono anch’essi infiniti
come tutti i
numeri primi), sono infiniti, poiché la
loro
curva segue,
sebbene a livello più basso, la curva generale
logaritmica dei numeri primi.
7) ESISTONO INFINITI PRIMI
q TALI CHE
q = ( 2^p )
- 1, OVE p E’
PRIMO.
Si tratta dei numeri di Mersenne.
Soluzione positiva dimostrata da noi di
ERATOSTENE,
ma non ancora pubblicata.
E’ collegata
alla congettura generale di cui sopra
sull’infinità
di tutti i numeri primi di forma particolare:
Mersenne, Fermat,
gemelli, (n^2) + 1 della
precedente
congettura, ecc .ecc..
Il ragionamento e la relativa tabella sono simili
a quelli
della congettura precedente.
8) “ ESISTONO INFINITI PRIMI TALI CHE
p
= (2^2n + 1
per ogni n?”
Proposta di
soluzione di ERATOSTENE:
Tabella e
ragionamento siili a quelli delle due congetture
precedenti,
e anche questa è collegata alla congettura
generale
sull’infinità dei numeri primi di forma
particolare.
Tabella
n (2^2n) + 1 p forma generale
1 4 + 1 = 5 primo 6*1 – 1
2 16 + 1 = 17 primo 6*3 – 1
3 64 + 1 = 65
4 256 + 1 = 257 primo
6*43 – 1
5 1024 + 1 = 1025
6 4096 + 1 = 4097
7
16384 + 1 = 16385
==== ======= ======= =======
Conclusione simile, anche se la
tabella di cui sopra non
può essere
da noi proseguita per la non disponibilità di
tavole di
numeri primi superiori a 10.000, a
quella della
congettura n. 6
( il numero dei
numeri primi di
forma
particolare cresce con n, e in modo
direttamente
proporzionale al numero dei numeri primi, e poiché
questi sono
infiniti, anche i numeri primi di forma
particolare (per es. gemelli ) o primi e non primi di
forma
particolare, come per es. quelli di cui alle
congetture
precedenti , sono anch’essi a loro volta
infiniti
(vedi nota 2 sui sottoinsiemi
infiniti di un
insieme infinito, cosa alla base della nostra congettura
generale
sull’infinità dei numeri primi particolari).
2n
Quindi, anche i numeri primi di forma 2
+ 1
sono anch’essi infiniti.
9) Esiste
sempre un numero primo p tra due
quadrati perfetti consecutivi?
“PER OGNI
n, ESISTE SEMPRE UN
NUMERO PRIMO
p TALE CHE n^2 <p<(n+1)^2.
Risposta
positiva e dimostrazione del gruppo
ERATOSTENE:
tra
due quadrati perfetti consecutivi
esiste
sempre
almeno un numero primo, e in generale un
numero di
numeri primi compreso tra 1 e
k = 2n +1 numeri primi. Questo perché tra
3
due quadrati
perfetti ci sono 2n + 1 unità, e
poiché, per
il Teorema n. 1, in tale intervallo
numerico ci
sono circa 2n +1 numeri primi
6
di
forma 6m – 1 e altrettanti di
forma 6m + 1,
ne consegue
che ci saranno al massimo
2(6m
+-1) =
k = 2n +- 1 numeri primi, come
6
3
da tabella successiva:
n
n^2 - (n – 1)^2 = d k = 2n +1 k reale numeri
3 primi compresi in d
1 1 - 0
= 1 1
0 nessuno
2 4 - 1
= 3 1,6
2 2
e 3
3 9
- 4 = 5 2,33 2 5 e
7
4 16 - 9
= 7 3
2 11 e 13
5
25 -
16 = 9 3,6
3 17, 19 e 23
6 36 -
25 = 11 4,3 2 29 e 31
7 49 -
36 = 13 5
4 37, 41,
43 e 47
8 64 -
49 = 15 5,6 3
53, 59 e
61
9 81 -
64 = 17 6.3 4 67, 71, 73
e 79
10 100 - 81 =
19 7 3
83, 89
e 97
….. …. …..
…. ….. …. ……………..
Poiché la differenza d tra due quadrati perfetti
consecutivi
d = 2n+1 cresce al crescere di
n, anche k statistico e k reale
crescono al crescere di n; e poiché anche k reale (numero dei numeri
primi compreso nell’intervallo d è
sempre maggiore di 1
anche
a partire da n = 2 ( solo per n = 1 k è nullo, e cioè
k = 0 ),
la
congettura è valida
da n = 2 in poi e da ora in poi può
già
considerarsi dimostrata.
10)
Esiste sempre un numero primo tra due quadrati perfetti
consecutivi?
PER OGNI n
> 1 ESISTE SEMPRE UN NUMERO
PRIMO p TALE CHE
n^2 < p
< (n^2 + n) ?
Innanzitutto, l’enunciato della congettura è errato, poiché
il quadrato consecutivo a n^ 2 è
(n+1)^2 è n^2 + 2n +1, e si
ricade nella congettura precedente n.
9. Per esempio,
il quadrato successivo a 9^2 = 81
è 81+ 2*9 +1 = 10^2 =100
mentre
n^2 + n è una cosa diversa, per
esempio, 9^2 + 9 = 90
e non 100. L’enunciato esatto quindi non deve riferirsi a due
quadrati perfetti consecutivi, ma
semplicemente alla somma
n^2 + n; e quindi esposto come segue:
“ Esiste sempre un numero primo tra un quadrato perfetto
e
la somma tra tale quadrato
perfetto e la sua radice quadrata,
e quindi tra n ^2 e n^2
+ n?” . La seconda parte dell’enunciato
invece è espressa correttamente:
PER OGNI n > 1 , ESISTE
SEMPRE UN NUMERO PRIMO
p
tale che n^2
< p < (n^2 + n)
?
Dimostrazione positiva del
nostro gruppo ERATOSTENE.
Tra un quadrato perfetto n^2 e la somma n^2 + n c’ è sempre
almeno un numero primo, poiché
si ricade nella congettura
precedente, limitata a n^2
+ n anziché a n^2 + 2n+1
(la versione
esatta
dell’intervallo tra due quadrati perfetti consecutivi), e quindi,
in questa nuova congettura,
abbiamo d’ = n/2
e k’ = k/2, con
k’
reale ugualmente sempre maggiore
di 1 se si rifà la tabella
con i nuovi valori di n,
n^2 + n, k’ =
k/2.
Per
esempio, per n = 1,
1^2 + 1 = 1
+ 1 = 2 e tra 1 e 2 c’è il
numero primo 2;
per n =2, 2^2 +2 = 4 + 2 = 6 e tra 4 e 6 c’è il numero primo 5;
per n = 3, 3^2 +3 = 9 + 3 = 12, e
tra 9 e 12 c’è il numero primo 11;
per
n = 4, 4^2 +4 = 16 + 4 = 20, e
tra 16 e 20 ci sono i numeri
primi 17 e 19;
per
n = 5, 5^2 + 5 = 25 + 5
= 30 , e tra 25 e 30 c’ è il n. primo 29;
per
n = 6, 6^2 + 6 = 36 + 6 = 42,
e tra 36 e 42 ci sono i numeri
primi 37 e 41;
per
n = 7, 7^2 +7 = 49 + 7 = 56, e tra 49 e 56 c’è il n. primo 53;
per
n = 8, 8^2 + 8 = 64 + 8 = 72, e tra 64 e 72 ci sono i
numeri
primi 67 e 71,
per
n = 9, 9^2 +9 = 81+9 = 90, e tra
81 e 90 ci sono i numeri
primi 83, e 89;
per n = 10, 10^2 + 10 = 100+10 = 110, e tra 100 e 110 ci sono i
numeri primi 101,
103, 107,
e così via, con k’ (numero di numeri primi tra n^2 e n^2 + n)
sempre più grande, e quindi sempre più
grande di 1, poiché al crescere
di n ci sono sempre più primi nella differenza n tra n^2 e n^2 +n,
e cioè
n^2 + n - n^2 =
n.
La congettura quindi è dimostrata, e da ora può essere considerata
un
teorema a tutti gli effetti,
come le precedenti congetture
dimostrate in questo lavoro, o in altri lavori ( es. Goldbach e
gemelli). Di conseguenza, non è vera la congettura di Brocard,
secondo la quale “ tra due quadrati di
due numeri consecutivi,
maggiori di due, ci sono almeno quattro numeri primi”,
poiché,
come abbiamo visto, ce ne sono al
massimo 2n+-1
3
10) Congettura
di Oppermann:
pi (n^2
+ n) > pi (n^2) >
pi (n^2 -
n) (n > 1)
Questa e la congettura precedente
sono automaticamente
dimostrate qualora si provi che la
differenza tra un primo p
e il successivo tende alla costante (log p )^2.
Considerazioni di ERATOSTENE:
questa congettura praticamente dice
una cosa ovvia , e cioè
che il
numero pi dei numeri primi fino a
n^2 + n è maggiore dei
numeri primi fino a n^2
ed è ancora maggiore del numero
dei numeri primi fino a n^2 -
n , visto che il numero dei
numeri
primi cresce in modo logaritmico con
n, quale che sia la forma
di n
(in questo caso un quadrato
perfetto n^2, più o meno la sua
radice
quadrata n. Comunque, per dimostrare la congettura in
modo
formale, ricorriamo al solito metodo della tabella con valori
crescenti di n, e dei numeri primi
compresi nelle differenze tra n
e gli altri numeri ad esso collegati:
n n^2 - n
pi(n^2-n) n^2 pi (n^2) n^2 + n pi(n^2 +n)
1 0 0 1 0 2 1 (solo il 2)
2 2 1 4
2 6 3 ( 2, 3 e 5)
3 6 3 9
4 12 5
(2,3,5,7,11)
4 12 5 16 6 20 7
5 20 8 25 9 30 10
6 30 10 36 11 42 13
7 42 13 49 15 56 16
8 56 16 64
18 72 20
… … … … … …
come si vede, pi cresce
gradualmente con n, e quindi
anche con
n^2-n, n^2 e
n^2 +n.
La congettura quindi è
vera poiché i tre
pi crescono
gradualmente al crescere di n
rispettando i rispettivi loro valori
crescenti per ogni singolo n , come da
enunciato.
Tutte le 11 congetture sono state quindi da noi
dimostrate, o
seguite dalle nostre proposte di
soluzione, con l’esclusione
della
congettura n. 3, manifestamente infondata, poiché la
differenza tra due numeri primi dispari
è sempre pari.
Tutte le congetture suddette,
per quanto più o meno
interessanti, non sono però di grande
aiuto per la dimostrazione
delle due congetture più importanti sui
numeri primi, e cioè la
congettura di Riemann, e la fattorizzazione come possibile
problema polinomiale, due dei famosi “problemi del millennio”
elencati da Hilbert e compresi tra quelli selezionati dal Clay
Mathematics per il premio da un milione di dollari. Ma forse
la
nostra soluzione della congettura di
Goldbach potrebbe essere
di qualche aiuto alla soluzione del secondo problema, se si potesse
risalire, da un prodotto di due
primi N = p*q alla somma di
Goldbach N’ = p + q.
Solo in tal caso, sfruttando teoremi
precedenti, si potrebbe risalire
successivamente a p e q, anche per
tentativi probabilmente più semplici di quelli della fattorizzazione
convenzionale (divisioni
di N per tutti i numeri primi fino a
n
= radice quadrata di N).
In seguito lavoreremo anche
a questa possibilità, per poter partecipare al concorso del Clay
in caso di risultati e interessanti
positivi della nostra ricerca.
Per quanto riguarda la Congettura di Riemann, essa è ancora
più difficile, e secondo noi poiché
essa riguarda una ancora
presunta ma non dimostrata regolarità
complessa (retta reale
½
sulla quale giacciono le parti
reali degli zeri della funzione
complessa zeta di Riemann),
si potrebbe affrontare studiando
a fondo
le regolarità aritmetiche
emergenti dal nostro Teorema
n. 1
(forma generale dei numeri primi
P = 6* n +- 1 ma non
viceversa, con esclusione dei soli
numeri primi 2 e 3 che sono
di forma 6*0 +2 =2
e 6*0 + 3 = 3), e da teoremi sue
conseguenze ed eventuali varianti: in altre parole, il
nostro ordine aritmetico, integrato con l’ordine logaritmico
( Teorema dei numeri primi, formule logaritmiche per il
calcolo di approssimativo di p(N) e del numero delle coppie di
Goldbach e delle coppie di numeri
gemelli fino a un dato N, ecc.)
dovrebbe portare a indizi positivi anche per l’ordine complesso zeta
e da qui, poi alla dimostrazione vera e
propria della Congettura di
Riemann, molto interessante anche
per molti fenomeni fisici
In cui sembra essere coinvolta (livelli energetici degli atomi,ecc.), oltre
che per la matematica ( già centinaia di teoremi cominciano con la
frase “se l’ipotesi di Riemann fosse
esatta… ). Anche a queste
fondate possibilità dedicheremo future
ricerche, e anche per
poter partecipare al concorso Clay in
caso di possibili risultati
interessanti. Quindi, concludendo,
le eventuali nuove congetture
sui numeri primi più interessanti
dovrebbero essere quelle che
potrebbero essere di qualche aiuto alla soluzione dei due
suddetti e grossi problemi del millennio riguardanti i numeri
primi, e cioè la Congettura di Riemann e
la fattorizzazione
come possibile problema polinomiale,
dalla quale poi si
potrebbe eventualmente passare ad una fattorizzazione veloce
non convenzionale).
ERATOSTENE
Nota 1. Queste congetture e proposte di soluzioni uguali o
simili
a quelle riportate in questo lavoro sono state già pubblicate,
in una precedente versione, sul sito
web:
mentre la soluzione di Goldbach e rettifiche alle equazioni
precedenti,
insieme alla dimostrazione della congettura sugli infiniti numeri
gemelli, sono state pubblicate sui numeri 20 e 21 (sul n. 19 ci sono
tre nostri importanti teoremi, il n. 1,
il n 13 e il n 14)
della rivista Internet “METODO” al sito:
http://www.geocities.com/g_armillotta/metodo20/di_noto/indice2.html
vedere anche il n 22 -
2006 ( giugno 2006) con altri
interessanti lavori: N
dispari come somma di tre numeri primi,
senza bisogno di enormi numeri minimi,
ecc), soluzione della
congettura n. 5 o di
Chen (sulla differenza pari tra due
numeri
primi, con caso particolare i numeri gemelli con d = 2 = q – p).
Nota 2
sulla congettura generale:
così
come l’insieme infinito N dei numeri naturali ha i suoi
sottoinsiemi infiniti di numeri in qualche modo legati ai
singoli numeri n, per esempio
quadrati o cubi ecc di n,
anche per l’insieme infinito P dei
numeri primi potrebbe
farsi lo stesso discorso: anch’esso
ha i suoi sottoinsiemi
infiniti, costituiti da numeri primi
particolari (gemelli,
di Mersenne, di Fermat) o da numeri ad essi legati da
qualche formula particolare, per es. i
numeri perfetti.
Poiché anch’essi crescono con N e quindi
con P, e le loro
curve logaritmiche seguono, sebbene a un livello più
basso
a seconda della loro crescente
rarità, per es.
i numeri primi di Mersenne, la curva
generale logaritmica
di tutti gli infiniti numeri primi P, che così si trascinerebbero
dietro (in questo caso in basso) anche l’infinità di tutti i
suoi sottoinsiemi di numeri primi
particolari: gemelli,
di Mersenne, di Fermat, ecc. ecc.), poiché anche le loro curve sul
piano cartesiano tendono verso l’alto, e quindi verso l’infinito,
proprio esattamente come la curva “madre” P di tutti gli infiniti
numeri primi ( la cui infinità, com’è
noto, è stata dimostrata da
Euclide; noi ora dimostriamo anche
la conseguente infinità
di tutti i sottoinsiemi P’ di P, e costituiti da numeri primi di forma
aritmetica particolare.