"METODO", N. 23/2007

Francesco Di Noto – Annarita Tulumello
(Gruppo Eratostene – Caltanissetta)
NUOVI TEOREMI 2007

 

     N  U  M  E  R   I         P  R  I  M   I       E       S   I   S   T   E   M  A

 

 

      D  I      N   U   M   E   R   A   Z   I   O   N    E     A   B   A   S   E   6

 

 

                                 (In   relazione al Teorema n.°  1)

 

 

 

        Poiché  tutti  gli infiniti numeri primi  (tranne il 2   e il 3)

 

e gli infiniti  semiprimi  (prodotti  tra due  o più numeri primi,

 

sempre ad eccezione di 2  e  3), sono della forma 

 

                                      P   =    6 * n  +  1

 

sarebbe interessante vedere come,  con un sistema di numerazione

 

a base  6   (anziché 10 come quello  comunemente usato, o 2 come nel

 

codice binario  usato  in informatica),  si possono   scrivere  tutti i

 

numeri   in generale  e i numeri primi e semiprimi in particolare;

 

usando anche, per questi ultimi,  le colonne  6n-1   e 6n+1  del nostro

 

Teorema n. 1, che rende chiaramente visibili le coppie di Chen

 

(in cui   entrambi  i numeri sono primi, oppure solo uno è primo

 

e  l’altro è un semiprimo, o entrambi semiprimi e in ogni caso la loro somma

è un numero pari; nel primo caso  la somma di due numeri primi gemelli

è sempre un multiplo  di 12,  e soddisfa la Congettura di Goldbach, del  resto

valida per tutte le  infinite coppie di numeri primi con qualsiasi

 

differenza pari tra di loro, secondo la congettura di  Chen che

 

abbiamo dimostrato  con un altro lavoro: ogni numero pari d

 

è infinite volte la differenza  tra due numeri primi, con d =2

 

nel caso dei numeri gemelli).

 

    Premesso che in qualsiasi sistema di numerazione a base b,

 

tale base finisce sempre con la cifra zero  (per esempio  10

 

ne sistema  di numerazione a base 10,    10 nel sistema di

 

numerazione a base 2,  ecc.)  ed essendoci b cifre compreso lo

 

zero,  scriviamo tutti i numeri in base 6 e ordinandoli   in 6 colonne

 

per evidenziare le coppie di Chen nella 4° e nella 6° colonna,

 

e anche   in base  10 per un  semplice ma chiaro confronto  visivo

 

tra i due sistemi:

 

                     sistema di numerazione  a  base   6   :

 

n                        3n                 6n-1      6n        6n+1

____________________________________________

1       1        2       3         4          5         10          11  

2               12     13       14        15        20           21

3               22     23       24        25         30          31

4               32     33       34        35         40          41

5               42     43       44        45         50          51

6               52     53       54        55       100        101

7             102   103     104      105       110        111

            ….    ….       ….       ….       ….         ….

 

 

sistema di numerazione a base   10   :

 

n                            3n              6n-1     6n        6n+1        

1       1          2       3       4           5          6           7

2                   8       9      10        11        12         13

3                  14     15     16        17        18         19

4                  20     21     22        23        24         25

5                  26     27     28        29        30         31

6                  32     33     34        35        36         37

7                  38     39     40        43        42         43

               ….     ….    ….       ….      ….         ….

 

   I  numeri primi, in entrambi i sistemi, sono sottolineati. 

 

   Si nota facilmente che, nella rappresentazione dei numeri

 

col sistema a base  6,   tutti i primi e i semiprimi di forma  6n-1

 

finiscono tutti con la cifra  5,   e tutti   quelli d forma 6n+1,

 

invece, terminano con la cifra 1, rendendosi  così facilmente

 

riconoscibili   insieme come primi e semiprimi (cosa che non

 

avviene con il sistema a base  10, dove essi finiscono con una

 

delle cifre  dispari  1, 3,  5,  7   e  9), mentre  l’altra cifra dispari

 

rimasta, il 3, rende facilmente riconoscibili tutti i multipli

 

dispari di 3  (cosa  che non avviene nel sistema a base 10, dove per

 

riconoscere un multiplo di   3  occorre sommare le cifre del

 

numero e dividere  tale somma per 3,  e  se essa è divisibile per

 

3, anche il numero  lo è, per il noto criterio di divisibilità per 3).

 

  Nel sistema a base 10, sono invece facilmente riconoscibili soltanto

 

i multipli dispari di 5, perché terminano tutti con la cifra 5;

 

che  è la metà della base  10, come  3  è la metà di 6, per cui

 

la regola generale secondo la quale  i numeri facilmente

 

riconoscibili, in ogni sistema a base b, sono quelli che

 

terminano  sempre con la cifra  b/2.

 

    Facendo quindi dei calcoli  con un sistema a  base 6,

 

manualmente  o  elettronicamente con  apposito software,

 

il risultato è facilmente  riconoscibile come primo  o semiprimo se finisce

con la cifra  5  se esso è di forma 6n-1, e con la cifra 1  se esso è di forma

 6n+1,  tenendo conto che ovviamente sia i primi che i semiprimi possono

terminare solo con  5 o con 1;  mentre  tutti i multipli  dispari di 3 finiranno

tutti con la cifr 3. 

 

    Così come, per esempio, il numero primo più grande  finora

 

trovato ( vedi  rivista LE SCIENZE   di febbraio 2006)

 

indicato come   formato da  9.152.052  cifre, e come numero

 

di Mersenne  di tipo   2^30.402.457 - 1,  con   30.402.457 numero

 

primo,  per via della formula generale dei numeri di Mersenne

 

              M   =    2^p   -1, con  p numero primo.

 

    Questo nuovo enorme numero primo ora scoperto da Stever

 

Boone della  Central  Missouri State  University con l’aiuto di

 

700     computer, deve quindi essere  di forma  6n+1  per via del

 

nostro  Teorema n° 1,  e  terminare con la cifra   5    oppure con

 

la cifra  1  (secondo a quale forma appartiene) se fosse scritto

 

col sistema di numerazione  a base 6  accennato in questo lavoro.

 

    Se  il Prof. Boone volesse controllare …

 

 Il numero primo  p   di 2^p -1 citato  30.402.457   è intanto

 

di forma 6n+1,   poiché   (30.402.457-1) / 6 =  5.067.076 ,

 

(n  =   ( p + 1 ) / 6) , ma ciò non ci aiuta molto a stabilire

 

la forma del numero di Mersenne  corrispondente

 

M   =    2^ 30.402.457   - 1;    in ogni caso  deve anche

 

essere necessariamente  di una delle forme possibili   6n +  1,

 

 e terminare   di conseguenza  per  5 o per 1 se fosse scritto

 

nel sistema di numerazione a base 6.